Im täglichen Leben verwenden wir bei Zahlen das Dezimalsystem. In diesem Zahlensystem, welches zu den sogenannten „Stellenwertsystemen“ gehört, werden die Zahlen mittels Zehnerpotenzen gebildet. Prinzipiell kann für die Basis der Potenz jede beliebige Zahl verwendet werden; alle Stellenwertsysteme lassen sich ineinander umrechnen!
Allerding gibt es auch Zahlensysteme, die man als Nicht-Stellenwertsysteme oder Zahlschriften bezeichnet. Das klassische Beispiel ist das System der römischen Zahlen: Hier werden festgelegte Symbole verwendet, denen jeweils ein Wert zugeordnet ist. Die Darstellung einer römischen Zahl ist durch verschiedene Regeln festgelegt.
Beispiel: MMXXI wäre die Darstellung von der dezimalen Zahl 2021. Das große „M“ hat den Wert 1000, das große „X“ hat den Wert 10 und der senkrechte Strich „I“ hat den Wert 1. Durch Addition wird die Zahl gebildet.
Dezimalsystem
Im Dezimalsystem -und in allen anderen Stellenwertsystemen- wird eine Zahl durch die Multiplikation von Potenzen und anschließender Addition dieser Produkte gebildet. Im Dezimalsystem werden Potenzen zur Basis 10 verwendet.
Diese Zehnerpotenzen werden nun von den Zahlzeichen (Ziffern) des Dezimalsystems multipliziert. Im Dezimalsystem (Zehnersystem) gibt es zehn Zahlzeichen, die wir alle kennen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Beispiel: Die Zahl 2021 im Dezimalsystem
2021 = 2 ⋅ 10³ + 0 ⋅ 10² + 2 ⋅ 10¹ + 1 ⋅ 10⁰
Mit diesem System lässt sich jede beliebige und noch so große Zahl bilden. Dies ist auch ein sehr großer Vorteil gegenüber Zahlschriften. Hier sind immer wieder neue Symbole zu erzeugen, um größere Zahlen zu bilden.
Dualsystem
Das Dual- oder Binärsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2. In der Computertechnik werden Informationen durch binäre Signale dargestellt: Elektrische Spannung oder elektrischer Strom nicht vorhanden/vorhanden.
Diese Signalwerte lassen sich hervorragend mit Hilfe des Dualsystems darstellen. In diesem System werden zwei Zahlzeichen benötigt. Hierzu verwendet man die Zahlzeichen 0 und 1.
Beispiel: Die Zahl 101000111 im Dualsystem
101000111 = 1 ⋅ 2⁸ + 0 ⋅ 2⁷ + 1 ⋅ 2⁶ + 0 ⋅ 2⁵ + 0 ⋅ 2⁴ + 0 ⋅ 2³ + 1⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰
Aber welche Dezimalzahl ist das nun?
Die Umrechnung erfolgt durch Ausrechnen der obigen Gleichung. Also alle Potenzen ausrechnen und dann entsprechend multiplizieren und zum Schluß die Produkte addieren.
1 ⋅ 2⁸ + 0 ⋅ 2⁷ + 1 ⋅ 2⁶ + 0 ⋅ 2⁵ + 0 ⋅ 2⁴ + 0 ⋅ 2³ + 1⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰
1 ⋅ 256 + 0 ⋅ 128 + 1 ⋅ 64 + 0 ⋅ 32 + 0 ⋅ 16 + 0 ⋅ 8 + 1⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1
256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 327
Wenn man zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen quasi hin- und herspringt, ist nicht immer klar welcher Zahlenwert bzw. welche Zahl das ist: 1011, ist das nun die dezimale Eintausendundelf oder die duale 1011?
Daher kennzeichnet man eine Zahl mit einem Index für die Basis des jeweiligen Stellenwertsystems:
101000111₂ = 327₁₀
Manchmal werden auch Buchstaben verwendet; z.B. der Buchstabe „B“ oder „b“ für binär und der Buchstabe „D“ oder „d“ für dezimal. Mir persönlich aber eine Zahl für die verwendete Basis angenehmer 🙂
Ich habe die Dezimalzahl 83 und will die zugehörige Dualzahl!
Das ist einfach. Man dividiert die Dezimalzahl immer durch Zwei -und zwar ganzzahlig!- und notiert dabei den Rest, der entweder 0 oder 1 ist.
83 : 2 = 41 Rest 1
41 : 2 = 20 Rest 1
20 : 2 = 10 Rest 0
10 : 2 = 5 Rest 0
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
Nun liest man die „Reste“ von unten nach oben und schreibt diese als Zahl von links nach rechts, das ergibt nun: 1010011 als Dualzahl. Die fortlaufende Division endet immer mit „1 : 2 = 0 Rest 1“.
Oktalsystem
Ein weiteres in der EDV verwendetes Zahlensystem ist das Oktalsystem mit der Basis 8. Hier werden acht Zahlzeichen benötigt; diese sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Beispiel: Die Zahl 327 im Oktalsystem
327₈ = 3 ⋅ 8² + 2 ⋅ 8¹ + 7 ⋅ 8⁰
327₈ = 3 ⋅ 64 + 2 ⋅ 8 + 7 ⋅ 1
327₈ = 192 + 16 + 7 = 215₁₀
Jetzt wird wohl auch klar, dass es sinnvoll ist die verwendete Basis anzugeben. Ansonsten: Ist 327 im Dezimal- oder Oktalsystem gemeint?
Aber weshalb verwendet man dieses Zahlensystem in der EDV?
Mit einer dreistelligen Dualzahl können acht verschiedene Zustände dargestellt werden; oder anders ausgedrückt: Ich kann mit einer dreistelligen Dualzahl von 0 bis 7, also acht, Zahlen bilden. Jede oktale Ziffer von 0 bis 7 lässt sich also durch eine dreistellige Dualzahl ausdrücken -und natürlich umgekehrt!
0₈ = 000₂, 1₈ = 001₂, 2₈ = 010₂, 3₈ = 011₂, 4₈ = 100₂, 5₈ = 101₂, 6₈ = 110₂ und 7₈ = 111₂
Man kann also längere Dualzahlen deutlich kürzer scheiben. Und Dualzahlen lassen sich sehr leicht in Oktalzahlen umformen, ohne dass man rechnen muss. Man schreibt für jede Oktalziffer einfach die zugehörige binäre Dreiergruppe hintereinander (links führende Nullen kann man natürlich weglassen):
327₈ = 011 010 111₂
Und umgekehrt lässt sich jede Dualzahl in eine wertgleiche Oktalzahl schreiben, in dem man die Dualzahl vom rechten Ende her in Dreiergruppen unterteilt und für jede Dreiergruppe die zugehörige Oktalziffer schreibt; fehlen am linke Ende der Dualzahl duale Ziffern ergänzt man Nullen bis zur Bildung einer Dreiergruppe.
11010111₂ = 11 010 111₂ = 011 010 111₂ = 3 2 7₈
Zur Kennzeichnung wird auch das große „O“ als Index für Oktal verwendet.
Hexadezimalsystem
In der EDV wird noch ein weiteres Zahlensystem zur Basis 16 verwendet: Das Hexadezimalsystem. Dieses System benötigt nun sechszehn Zahlzeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Eine gültige Hexadezimalzahl wäre z.B. „CAFE“ oder „AFFE“ oder 3CA7F.
Beispiel: Die Zahl 3CA7F im Hexadezimalsystem
3CA7F₁₆ = 3 ⋅ 16⁴ + C ⋅ 16³ + A ⋅ 16² + 7 ⋅ 16¹ + F ⋅ 16⁰
3CA7F₁₆ = 3 ⋅ 16⁴ + 12 ⋅ 16³ + 10 ⋅ 16² + 7 ⋅ 16¹ + 15 ⋅ 16⁰
3CA7F₁₆ = 3 ⋅ 65536 + 12 ⋅ 4096 + 10 ⋅ 256 + 7 ⋅ 16 + 15 ⋅ 1
3CA7F₁₆ = 196608 + 49152 + 2560 + 112 + 15 = 248447₁₀
Die Vorteile des Oktalsystem gelten hier noch verstärkt. Sechszehn verschiedene Zustände (entsprechend der Zahlzeichen von 0₁₆ = 0₁₀ bis F₁₆=15₁₀) lassen sich mit vier Dualstellen erzeugen:
0₁₆ = 0000₂, 1₁₆ = 0001₂, 2₁₆ = 0010₂, 3₁₆ = 0011₂, 4₁₆ = 0100₂, 5₁₆ = 0101₂, 6₁₆ = 0110₂, 7₁₆ = 0111₂, 8₁₆ = 1000₂, 9₁₆ = 1001₂, A₁₆ = 1010, B₁₆ = 1011, C₁₆ = 1100₂, D₁₆ = 1101₂, E₁₆ = 1110₂ und F₁₆ = 1111₂
Die Hexadezimalzahlen sind also noch etwas kompakter als die Oktalzahlen. Heutige Digitalrechner haben intern zumeist eine Anzahl von sogenannten „Datenleitungen“ (für die Übertragung von binären Daten mittels Spannungssignale), die eine ganzzahlige Vielzahl von Vier ist. Der Zustand von 64 Datenleitungen lässt sich mit daher entweder mit 64 Binärstellen oder eben mit nur 16 Hexadezimalstellen hinschreiben (und umgekehrt!).
3CA7F₁₆ = 0011 1100 1010 0111 1111₂ = 11110010100111111111 1100 1010 0111 1111₂
101101011₂ = 1 0110 1011₂ = 0001 0110 1011₂ = 16B₁₆
Hexadezimalzahlen werden auch durch das große „H“ als Index für Hexadezimal verwendet. In weiteren Notationsformen wird entweder das Dollarzeichen „$“ oder die Zeichenfolge „0x“ als Präfix verwendet.
Nachfolgend mein Arbeitsblatt als PDF: